Killer Sudoku : combinaisons et règle des 45

Lire une cage

Une cage est un groupe de cases délimité par un contour en pointillés. Le petit nombre de son coin indique la somme de ses chiffres. Dans le Killer standard, joué sur SudokuSimple, un chiffre ne se répète jamais à l’intérieur d’une cage, et les règles classiques continuent de s’appliquer : chaque ligne, colonne et bloc contient les chiffres de 1 à 9.

Une cage peut traverser plusieurs blocs. Les cages couvrent toute la grille : la somme de toutes les cages vaut donc 9 × 45 = 405, ce qui permet de vérifier une grille recopiée sur papier.

Les sommes à combinaison unique

Pour un nombre de cases donné, les sommes extrêmes n’admettent qu’une décomposition en chiffres distincts. Ce sont les cages à repérer en premier : on connaît leurs chiffres, il ne reste qu’à les ordonner.

D’autres sommes ne fixent pas les chiffres mais en excluent certains :

• Une cage de deux cases à somme paire ne contient jamais la moitié de cette somme : une cage de 10 sur deux cases ne contient pas de 5, puisque 5 + 5 répéterait un chiffre.
• Une cage de deux cases dont la somme dépasse 10 ne contient jamais de 1 : avec le plus grand partenaire possible, 9, on n’atteint que 10. De même, au-delà de 11, elle ne contient pas de 2.
• Les chiffres communs à toutes les combinaisons d’une cage y figurent forcément. Une cage de trois cases totalisant 8 ({1, 2, 5} ou {1, 3, 4}) contient toujours un 1.

La table complète

Toutes les combinaisons de chiffres distincts, par nombre de cases et par somme. Pour les cages de cinq cases ou plus, raisonnez sur le complément : les chiffres absents d’une cage de n cases forment une combinaison de 9 − n chiffres dont la somme vaut 45 moins celle de la cage. Une cage de huit cases totalisant 40 ne contient donc pas le 5.

La règle des 45

Les chiffres de 1 à 9 totalisent 45. Chaque bloc, ligne ou colonne fait donc 45. Si des cages entièrement contenues dans un bloc en couvrent toutes les cases sauf une, cette case vaut 45 moins la somme de ces cages.

Dans le bloc 8, les cages entièrement intérieures ont pour sommes 9, 12, 5, 2, 4 et 7, soit 39. Elles couvrent huit des neuf cases. La case restante, L9C6, vaut donc 45 − 39 = 6.

La règle s’applique aussi aux lignes, aux colonnes et à plusieurs unités à la fois : deux lignes voisines totalisent 90, trois blocs d’une même bande 135.

Une case qui dépasse

Le raisonnement fonctionne aussi dans l’autre sens. Si les cages qui touchent un bloc couvrent toutes ses cases et débordent d’une seule case, cette case extérieure vaut la somme de ces cages moins 45.

Les cages qui touchent le bloc 2 totalisent 18, 16, 7, 5 et 1, soit 47. Elles couvrent les neuf cases du bloc, qui font 45, plus la seule case L3C7. Celle-ci vaut donc 47 − 45 = 2.

Une méthode pour démarrer

1. Placez les cages d’une seule case : leur somme est leur valeur.
2. Repérez les combinaisons uniques et notez leurs chiffres en candidats.
3. Appliquez la règle des 45 à chaque bloc, puis aux lignes et aux colonnes.
4. Croisez avec les règles classiques : un chiffre réservé à une cage ne peut plus apparaître ailleurs dans la ligne, la colonne ou le bloc qui la contient.
5. Continuez avec les techniques habituelles : balayage, candidats verrouillés, paires.

Sur SudokuSimple, sélectionnez une case pour afficher sa cage : le jeu indique le nombre de cases, la somme attendue et la somme déjà saisie, ce qui facilite les calculs de la règle des 45. Les indices du Killer expliquent la dernière case d’une cage ou un candidat unique, sinon ils proposent une valeur vérifiée par le solveur.